Beberapa Sifat Relasi
Relasi
yang didefinisikan pada sebuah himpunan mempunyai beberapa sifat. Sifat-sifat
tersebut antara lain :
1. Refleksif (reflexive)
Suatu
relasi R pada himpunan A dinamakan bersifat refleksif jika
(a, a) ∈ R
untuk setiap a ∈
A. Dengan kata lain, suatu relasi R pada himpunan A dikatakan
tidak refleksif jika ada a ∈
A sedemikian sehingga (a, a) ∉ R.
Contoh
:
Misalkan
A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R adalah relasi ‘≤’ yang
didefinisikan pada himpunan A, maka
R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3),
(2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 4)}
Terlihat
bahwa (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) merupakan unsur dari R. Dengan
demikian R dinamakan bersifat refleksif.
Contoh
:
Misalkan
A = {2, 3, 4, 8, 9, 15}.
Jika
kita definisikan relasi R pada himpunan A dengan aturan :
(a,
b) ∈ R jika
a faktor prima dari b
Perhatikan
bahwa (4, 4) ∉ R .
Jadi,
jelas bahwa R tidak bersifat refleksif.
Sifat
refleksif memberi beberapa ciri khas dalam penyajian suatu relasi, yaitu :
• Relasi yang bersifat refleksif mempunyai matriks yang unsur
diagonal utamanya semua bernilai 1, atau mii = 1, untuk i = 1,
2, …, n,
• Relasi yang bersifat
refleksif jika disajikan dalam bentuk graf berarah maka pada graf tersebut
senantiasa ditemukan loop setiap simpulnya.
2. Transitif (transitive)
Suatu
relasi R pada himpunan A dinamakan bersifat transitif jika
(a, b) ∈ R dan (b, c) ∈ R, maka (a, c) ∈ R, untuk a, b, c ∈ A.
Contoh :
Misalkan A = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, dan relasi R didefinisikan
oleh :
a R b jika dan hanya jikan a membagi
b, dimana a, b ∈ A,
Jawab :
Dengan memperhatikan definisi relasi R pada himpunan A,
maka :
R = {(2, 2), (2, 4), (2, 6),
(2, 8), (3, 3), (3, 6), (3, 9), (4, 4), (4, 8)}
Ketika (2, 4) ∈ R dan (4, 8) ∈ R terlihat bahwa (2, 8) ∈ R.
Dengan demikian R bersifat
transitif.
Contoh :
R merupakan relasi pada
himpunan bilangan asli N yang didefinisikan oleh :
R : a + b = 5, a,
b ∈ A,
Jawab :
Dengan memperhatikan definisi relasi R pada himpunan A,
maka :
R = {(1, 4), (4, 1), (2, 3),
(3, 2) }
Perhatika bawa (1, 4) ∈ R dan (4, 1) ∈ R , tetapi (1, 1) ∉ R.
Dengan demikian R tidak bersifat
transitif.
Sifat
transitif memberikan beberapa ciri khas dalam penyajian suatu relasi, yaitu :
sifat transitif pada graf berarah ditunjukkan oleh :
Jika ada
busur dari a ke b dan busur dari b ke c, maka juga
terdapat busur berarah dari a ke c.
Pada saat menyajikan suatu relasi transitif dalam bentuk matriks,
relasi transitif tidak mempunyai ciri khusus pada matriks representasinya
3. Simetri (symmetric) dan Anti Simetri (antisymmetric)
Suatu relasi R pada himpunan A dinamakan
bersifat simetri jika (a, b) ∈ R, untuk setiap a, b ∈ A, maka (b, a)
∈ R. Suatu
relasi R pada himpunan A dikatakan tidak simetri jika (a, b)
∈ R sementara
itu (b, a) ∉ R.
Suatu relasi R pada himpunan A dikatakan
anti simetri jika untuk setiap a, b ∈ A, (a, b)
∈ R dan (b,
a) ∈ R berlaku
hanya jika a = b. Perhatikanlah bahwa istilah simetri dan anti
simetri tidaklah berlawanan, karena suatu relasi dapat memiliki kedua sifat itu
sekaligus. Namun, relasi tidak dapat memiliki kedua sifat tersebut sekaligus
jika ia mengandung beberapa pasangan terurut berbentuk (a, b)
yang mana a ≠ b.
Contoh
:
Misalkan
R merupakan relasi pada sebuah himpunan Riil, yang dinyatakan oleh:
a R b jika dan hanya jika a – b ∈ Z.
Periksa
apakah relasi R bersifat simetri !
Jawab
:
Misalkan
a R b maka (a – b) ∈
Z, Sementara itu jelas bahwa (b – a) ∈ Z.
Dengan demikian R bersifat simetri.
Contoh
:
Tunjukan
bahwa relasi ‘≤’ merupakan pada himpunan Z. bersifat anti simetri
Jawab
:
Jelas
bahwa jika a ≤ b dan b ≤ a berarti a = b.
Jadi relasi ‘≤’ bersifat anti simetri.
Contoh
:
Relasi
“habis membagi” pada himpunan bilangan bulat asli N merupakan contoh
relasi yang tidak simetri karena jika a habis membagi b, b tidak
habis membagi a, kecuali jika a = b. Sementara itu, relasi
“habis membagi” merupakan relasi yang anti simetri karena jika a habis
membagi b dan b habis membagi a maka a = b.
Contoh
:
Misalkan
relasi R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3) } maka relasi R merupakan
relasi yang simetri sekaligus relasi yang anti simetri.
Sifat
simetri dan anti simetri memberikan beberapa ciri khas dalam penyajian
berbentuk matriks maupun graf, yaitu :
• Relasi yang bersifat simetri mempunyai matriks yang
unsur-unsur di bawah diagonal utama merupakan pencerminan dari elemen-unsurdi
atas diagonal utama, atau mij = mji = 1, untuk i =
1, 2, …, n dan j = 1, 2, …, n adalah :
Relasi
yang bersifat simetri, jika disajikan dalam bentuk graf berarah mempunyai ciri
bahwa jika ada busur dari a ke b, maka juga ada busur dari b ke
a.
• Relasi yang bersifat anti simetri mempunyai matriks yang
unsur mempunyai sifat yaitu jika mij = 1 dengan i ≠ j,
maka mji
= 0. Dengan kata lain, matriks dari relasi anti simetri adalah
jika salah satu dari mij = 0 atau mji =
0 bila i ≠ j :
sedangkan
graf berarah dari relasi yang bersifat anti simetri mempunyai ciri bahwa tidak
akan pernah ada dua busur dalam arah berlawanan antara dua simpul berbeda.
Misalkan,
R merupakan relasi dari himpunan A ke himpunan B. Invers
dari relasi R, dilambangkan dengan R–1,
adalah relasi dari himpunan B ke himpunan A yang didefinisikan
oleh :
R–1 = {(b,
a) | (a, b) ∈
R }
Contoh
:
Misalkan
P = {2, 3, 4} dan Q = {2, 4, 8, 9, 15}.
Jika
didefinisikan relasi R dari P ke Q yaitu :
(p, q) ∈
R jika dan hanya jika p habis membagi q
maka
kita peroleh :
R
= {(2, 2), (2, 4), (4, 4), (2, 8), (4, 8), (3, 9), (3, 15)
R–1 merupakan
invers dari relasi R, yaitu relasi dari Q ke P yang
berbentuk :
(q, p) ∈
R–1
jika q adalah kelipatan dari p
sehingga
diperoleh :
R–1 =
{(2, 2), (4, 2), (4, 4), (8, 2), (8, 4), (9, 3), (15, 3) }
Jika
M adalah matriks yang menyajikan suatu relasi R,
maka matriks yang merepresentasikan relasi R–1,
misalkan N, diperoleh dengan melakukan transpose terhadap matriks
M,
